Фрактали у природі

 Фрактальну природу мають багато структур в природі, вони знайшли застосування в науці і техніці. Фрактал - термін, що означає геометричну фігуру, що володіє властивістю самоподібності, тобто складену з декількох частин, кожна з яких подібна до всієї фігури цілком. Багато об'єктів в природі мають фрактальні властивості, наприклад узбережжя, хмари, крони дерев, кровоносна система і система альвеол людини або тварин. Фрактали, особливо на площині, популярні завдяки поєднанню краси з простотою побудови за допомогою комп'ютер

Класифікація фракталів

Класифікація фракталів

Існують такі види фракталів:

1) геометричні,

2) алгебраїчні,

3) стохастичні,

4) системи ітеруючих функцій.

Геометричні фрактали

Саме з них і починалася історія фракталів. Цей тип фракталівотримують шляхом простих геометричних побудов. Зазвичай припобудові цих фракталів поступають так: береться «приманка» -аксіома - набір відрізків, на підставі яких будуватиметься фрактал. Далі до цієї «приманки» застосовують набір правил, якийперетворить її у будь-яку геометричну фігуру.

Фрактали цього класу самі наочні. У двомірному випадку їх отримують за допомогою деякої ломаної (чи поверхні в трьохмірному випадку), яка називається генератором. За один крок алгоритму кожен із відрізків, які складають ломану, замінюється на ломану-генератор, у відповідному масштабі. У результаті безкінечного повторення цієї процедури, отримується геометричний фрактал.

Для побудови геометричних фрактальних кривих використовуються рекурсивні алгоритми.  Рекурсія використовується при вирішенні завдань , які можуть бути розкладені на декілька підзадач. Таким чином, застосування  рекурсії доцільне при побудові фрактальних кривих, оскільки вони володіють такою властивістю як самоподібність.

Фрактальна графіка

                                                      Фрактальна графіка

Фрактальна графіка базується на фрактальній геометрії.

Найвідомішими фрактальними об’єктами є дерева: від кожної гілки  відходять меньші,схожі на неї, від них - ще меньші. За окремою гілкою математичними методами можна відслідкувати властивості всього дерева. Фрактальні властивості мають такі природні об’єкти, як: сніжинка, що при збільшенні виявляється фракталом; за фрактальними алгоритмами ростуть крістали та рослини.

Поява нових елементів меншого розміру відбувається за певним алгоритмом. Очевидно, що описати подібні об’єкти можна всього лише декількома математичними рівняннями!

Значення фракталів у машинній графіці сьогодні досить значне. Вони приходять на допомогу, наприклад, коли потрібно, за допомогою декількох коефіцієнтів, задати лінії і поверхні дуже складної форми. З точки зору машинної графіки, фрактальна геометрія незамінна під час генерації штучних хмар, гір, поверхні моря. Фактично знайдений спосіб легкого уявлення неевклідових об’єктів, взірці яких дуже схожі на природні.Однією з основних властивостей фракталів є самоподібність. У самому простому випадку невелика частина фракталу містить інформацію про весь фрактал. Фрактал – структура, яка складається з частин, які в якомусь розумінні подібні цілому.

Фрактали в сонячному вітрі

Астрофізики з університету (Уорікшир, Великобританія) Уорікського під керівництвом Сандри Чапмен виявили в потоках сонячного вітру фрактальні структури, вивергнуті нашою зіркою в періоди максимальної активності.

Фрактали часто виявляються в сніжних пластівцях, деревах і інших природних об'єктах. Тепер учені з Англії розробили спосіб виявлення фракталів в сонячному вітрі. Вони також змогли безпосередньо зв’язати знайдені ними складні структури з циклами сонячної активності, які міняються кожні 11 років. Було виявлено, що фрактали в сонячному вітрі спостерігаються в періоди пікової активності нашого світила. У періоди ж малої активності Сонця спостерігається тільки загальна турбулентність, без фрактальних структур.

На думку учених, це означає, що фрактали з’являються в результаті складних процесів в магнітному полі наший зірки. Нові дані повинні допомогти астрофізикам зрозуміти, яким чином відбувається нагрів потоку частинок від корони, і яка природа турбулентності сонячного вітру, а також процес його злиття з потоком космічних променів і роль в космічній погоді.

Нова методика пошуку і вивчення фрактальних послідовностей в сонячному вітрі також буде використана для вирішення проблем термоядерної енергетики. Учені з Уорікського університету співробітничають з дослідниками, що беруть участь в програмі EURATOM/UKAEA, для спостереження і пояснення флуктуацій в термоядерному експерименті MAST в Калхаме (Оксфордшир, Великобританія), повідомляє офіційний сайт Уорікського університету.

Програми для Створення фракталів

Програма ChaosPro

Apophysis програма − для генерації фракталів на основі базових фрактальних формул. Створені за готовими формулами фрактали можна редагувати і змінювати, регулюючи різноманітні параметри.

Фрактали застосовуються у будь-яких сферах комп'ютерної графіки, наприклад, у комп'ютерному дизайні (створення текстур, фонових зображень, фантастичних ландшафтів для комп'ютерних ігор, книжкових ілюстрацій). Існує певний набір програмного забезпечення для використання фракталів у різних галузях.

Map Viewer дозволяє вводити та корегувати карти – змінювати масштаб, перетворювати координати, обробляти й виводити у графічному вигляді числову інформацію, пов’язану з картами.

Пакет Iris Explorer призначений для створення моделей океану.

Пакет Earth Watch призначений для моделювання та демонстрації тривимірного зображення метеоумов над Землею, будувати топологічні поверхні на основі космічних знімків.

Самоподібність

Фрактали можна класифікувати відповідно до їхньої самоподібності. Розрізняють два типи самоподібності у фракталах: 

Майже самоподібність — Слабка форма самоподібності; фрактал виглядає приблизно (але не точно) самоподібним при різних збільшеннях. Майже самоподібні фрактали містять малі копії цілого фракталу у перекручених та вироджених формах. Фрактали, згенеровані з використанням рекурентних відношень, зазвичай є майже (але не точно) самоподібними.
  Статистична самоподібність — Це найслабкіша форма самоподібності; фрактал має чисельні або статистичні міри, що зберігаються при збільшенні. Найприйнятніші означення «фракталів» просто містять в собі деякий вид статистичної самоподібності (розмірність фракталу, саме по собі, є чисельною мірою, що зберігається при збільшенні). Ймовірнісні фрактали є прикладами фракталів, які є статистично, але не майже й не точно самоподібними.                    
  Слід зазначити, що не всі самоподібні об'єкти є фракталами; наприклад, числова вісь (евклідова пряма) є точно самоподібною, але, оскільки її розмірність Гаусдорфа та топологічна розмірність дорівнюють одиниці, вона не є фракталом.

Бенуа Мандельброт

Бенуа Мандельброт — французько - американський математик єврейського походження, засновник фрактальної геометрії. Його ім'я відоме багатьом в зв'язку з фракталом, названим на його честь, — множиною Мандельброта. Математик також займався економікою, теорією інформації, космологією та іншими науками. Мандельброт є лауреатом премії Вольфа з фізики у 1993 році, Японської премії за інноваційні ідеї в науці у 2003 році та інших численних нагород.

В 1960-их роках, Бенуа Мандельброт почав дослідження самоподібності в своїх роботах, наприклад: Яка довжина узбережжя Британії? Статистична самоподібність та дробова розмірність. Ця доповідь базувалась на ранніх роботах Луі Фрая Річардсона. В 1975 році Мандельброт використав слово фрактал як назву для об'єктів, розмірність Хаусдорфа яких є більшою за топологічну розмірність. Він проілюстрував своє математичне означення захоплюючими зображеннями, зробленими за допомогою комп'ютера. Ці зображення привернули велику увагу; багато з них базувалися на рекурсії, що призвело до появи поширеного розуміння слова фрактал.

Історія Фракталів

                                                                       Історія

Об'єкти, які тепер називаються фракталами, досліджувались задовго до того, як їм було дано таку назву. Ветноматематиці, наприклад в роботах Рона Еглаша «Африканські Фрактали», (ISBN 0-8135-2613-2) задокументовано поширені фрактальні геометричні фігури в мистецтві тубільців. В 1525 році німецькиймитець Альбрехт Дюрер опублікував свою працю Керівництво Художника, один із розділів якої має назву «Черепичні шаблони, утворені пентагонами». Пентагон Дюрера багато в чому є схожим на килим Серпінського, але замість квадратів використовуються п'ятикутники. Джексон Поллок (американський експресіоніст 50-тихроків минулого століття) малював об'єкти, дуже схожі на фрактали.

Ідею «рекурсивної самоподібності» було висунуто філософом Лейбніцом, який також розробив багато з деталей цієї ідеї. В 1872 Карл Веєрштрас побудував приклад функції з неінтуїтивною особливістю, скрізьнеперервної, але ніде недиференційовної — графік цієї функції тепер би називався фракталом. В 1904 Хельга фон Кох, незадоволений занадто абстрактним та аналітичним означенням Веєрштраса, розробив більш геометричне означення схожої функції, яка тепер має назву сніжинки Коха. Ідею самоподібних кривих було далі розвинено Полем П'єром Леві, який у своїй роботі Криві та поверхні на площині та у просторі, які складаються із частин, схожих на ціле, виданій 1938 року, описав нову фрактальну криву, відому тепер якКрива Леві.

Що таке Фрактал та приклади

                                                                   Що таке Фрактали
Фракта́л (лат. fractus — подрібнений, дробовий) — нерегулярна, самоподібна структура. В широкому розумінні фрактал означає фігуру, малі частини якої в довільному збільшенні є подібними до неї самої. Термін фрактал увів 1975 року Бенуа Мандельброт.

                                                                   Приклади Фракталів

Порівняно простий клас прикладів становлять множини Кантора, в яких короткі та ще коротші (відкриті) інтервали вилучаються з одиничного інтервалу [0; 1], залишаючи множину, яка, можливо, буде (або не буде) самоподібною при збільшенні й, можливо, матиме (або не матиме) розмірність Хаусдорфа d таку, що 0 < d < 1. Простий приклад, такий як вилучення цифри 7 із десяткового подання, є самоподібним при 10-разовому збільшенні, має розмірність Гаусдорфа log 9/log 10 та показує зв'язок між двома концепціями. Для порівняння: топологічна розмірність довільної множини Кантора дорівнює 0, й тому всі множини Кантора є фракталами.

Також до прикладів фракталів належить фрактал Ляпунова, трикутник Серпінського, килим Серпінського, губка Менгера, сітка Аполлонія, крива дракона, крива заповнення простору, межі множин груп Кліні та крива Коха. Фрактали можуть бути детермінованими або стохастичними (наприклад, недетермінованими).

Хаотичні динамічні системи іноді асоціюються з фракталами (дивіться атрактор). Об'єкти в просторі параметрів родини систем також можуть бути фракталами. Цікавим прикладом є множина Мандельброта. Ця множина містить цілі диски, тому її розмірність Хаусдорфа дорівнює топологічній розмірності, яка дорівнює 2, і вона формально не є фракталом — але що насправді є дивним, це те, що розмірність Хаусдорфа межі множини Мандельброта також дорівнює 2 (а топологічна розмірність дорівнює 1). Це було доведено М.Шішікурою 1991 року.

Множина Мандельброта